Quadratic Equations with one Variable {একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ}

Sridhar Acharya Formula

Quadratic Equations with one Variable {একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ}

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ-এর সাধারণ রূপ হল ।
 যদি a = 0 হয়, তাহলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ না হয়ে একঘাত সমীকণে রূপান্তরিত হয়। b = 0 হলে, সমীকরণের বীজদ্বয় সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয় c = 0 হলে একটি বীজ শূন্য হয়।

কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান উৎপাদক নিয়মে না করা গেলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্য নিতে হয়।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রটি হলঃ

     

             সমীকরণের বীজদ্বয় 

 b² – 4ac কে সমীকরণের নিরূপক বলে। 
b² – 4ac -এর মান =0 হলে, বীজদ্বয় সমান হয়। b² – 4ac -এর মান ≥0 হলে বীজদ্বয় বাস্তব হয়। b² – 4ac -এর মান <0 হলে, বীজদ্বয় কাল্পনিক হয়।

কষে দেখি-1.1

1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।

(i)x²-7x+2, (ii)7x⁵-x(x+2), (iii)2x(x+5)+1, (iv)2x-1

উত্তরঃ

(i). x²-7x+2 বহুপদী সংখ্যামালাটির x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(ii). 7x⁵-x(x+2) = 7x⁵-x²-2x বহুপদী সংখ্যামালাটির x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

(iii). 2x(x+5) + 1 = 2x²+10x+1 বহুপদী সংখ্যামালাটির x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা।

(iv). 2x-1 বহুপদী সংখ্যামালাটির x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

2. নিচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c=0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।

(i) x-1 + ⅟x = 6, (x ≠ 0)
 
(iii) x² - 6√x + 2 =0 (iv) (x-2)² = x² - 4x + 4

উত্তরঃ
(i) x-1 + ⅟x = 6


বা, x²-x+1 = 6x
বা, x²-7x+1 = 0


বা, x²+3 = x³
বা, x³-x²-3 = 0

(iii) x² - 6√x + 2 =0 

(iv) (x-2)² = x² - 4x + 4
এটি একটি অভেদ
সুতরাং, (i) নং সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আকারে লেখা যায়।

3. x⁶-x³-2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
উত্তরঃ
        x⁶-x³-2 = 0
     বা, (x³)² - y -2 = 0
     বা, x³ = y ধরলে, y² - y -2 = 0
  ∴ x³ -এর সাপেক্ষে সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

4. (i). (a-2)x²+3x+5=0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না নির্ণয় করি।
উত্তরঃ
(a-2)x²+3x+5=0
সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না যদি x²-এর সহগ শূন্য হয়।
অর্থাৎ a - 2 = 0 ∴ a = 2
  ∴ a = 2 -এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।

  কে ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত নির্ণয় করি।
উত্তরঃ

বা, 3x.x = 4 - x
বা, 3x² + x - 4 = 0    ∴ x -এর সহগ।

4.(iii).3x²+7x+23=(x+4)(x+3)+2-কে ax²+bx+c=0,(a≠0)দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি।
উত্তরঃ
  3x² + 7x + 23 = (x + 4)(x + 3) + 2
বা, 3x² + 7x + 23 = x² + 7x + 14
বা, 3x² + 7x + 23 - x² - 7x - 14 = 0
বা, 2x² + 9 = 0
বা, 2x² + 0.x + 9 = 0
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে a = 2 (≠0), b = 0, c = 9.

4.(iv). (x + 2)³ = x(x² -1) সমীকরণটি কে ax² + bx + c = 0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x², x ও x⁰ -এর সহগ লিখি।
উত্তরঃ
   (x + 2)³ = x(x² -1)
বা, x³ + 3.x².2 + 3.x.2² +2 = x³ - x
বা, x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ - x
বা, 6x² + 13x + 8 = 0, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এখানে x²-এর সহগ 6, x-এর সহগ 13 এবং x⁰-এর সহগ 8.

5. নিচের বির্বৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i). 42 -কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
উত্তরঃ
     ধরি, অংশদুটি x ও (42 - x)
প্রশ্নানুসারে,  x² = 42 - x
         বা, x² + x - 42 = 0
         বা, x² + 7x - 6x - 42 = 0
         বা, (x + 7)(x - 6) = 0
∴ হয় x + 7 = 0 বা, x = -7 অথবা, x - 6 = 0 বা, x = 0 বা, x = 6, x =-7
গ্রহণযোগ্য নয়।
 ∴ x = 6, ∴ 42 কে 6 এবং (6)² = 36 এই দুই অংশে বিভক্ত করতে হবে।

5.(ii). দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখার গুনফল 143.
উত্তরঃ
ধরি, দুটি ধনাত্মক ক্রমিক অযুগ্ম সংখ্যা (2x - 1) ও (2x + 1)
দেওয়া আছে, (2x - 1)(2x + 1) = 143
          বা, 4x² - 1 = 143
          বা, 4x² = 144 বা, x² = 36
বা, x² - 36 = 0, একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

5.(iii). দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313.
উত্তরঃ
মনেকরি ক্রমিক সংখ্যা দুটি x ও (x + 1)
দেওয়া আছে, x² + (x + 1)² = 313
          বা, x² + x² + 2x + 1 = 313
          বা, 2x² + 2x - 312 = 0
          বা, x² + x - 156 = 0 একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।


6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i). একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
উত্তরঃ
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
 ∴ দৈর্ঘ্য = (x + 3) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 


প্রশ্নানুসারে,  = 15
বা, (x + 3)² + x² = (15)²
বা, x² + 6x + 9 + x² = 225
বা, x² + 6x + 9 - 225 + x² = 0
বা, 2x² + 6x - 216 = 0
বা, x² + 3x - 108 = 0   ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা. প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো।
উত্তরঃ
মনে করি, ব্যাক্তিটি x কিগ্রা. চিনি ক্রয় করেছিলেন
∴ 1 কিগ্রা চিনির দাম 
 
আরও 4 কিগ্রা. চিনি বেশি পেলে চিনির পরিমান হয় (x + 4) কিগ্রা.
আর্থাৎ ঐ ব্যক্তি 80 টাকায় (x + 4) কিগ্রা চিনি পেতেন
        
          ∴ 1 কিগ্রা. চিনি পেতেন
                                

প্রশ্নানুসারে, 
            


ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।


6.(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল। ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘন্টা কম সময় লাগত।

উত্তরঃ 
মনে করি প্রথমে ট্রেনটির সমবেগে ঘন্টায় x কিমি.
∴ 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগে
 
ট্রেনটির গতিবেগ 300 কিমি. যেতে ট্রেনটির সময় লাগবে 


প্রশ্নানুসারে,
       
                                               ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা লাভ হলো।
উত্তরঃ
      মনে করি ঘড়িটির ক্রয় মূল্য = x টাকা
        ∴ তার লাভ হলো শতকরা x টাকা
       অর্থাৎ 100 টাকায় লাভ হয় x টাকা
  ∴ x টাকায় লাভ হয়
   
প্রশ্নানুসারে,
        
                              ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতন মাঝি স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে অসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।
উত্তরঃ মনে করি, স্থির জলে নৌকার বেগ x কিমি./ঘন্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x + 2) কিমি./ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x - 2) কিমি./ঘন্টা
∴স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে
 
∴স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে

∴ মোট সময় লাগে
 
প্রশ্নানুসারে,
         
                           ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিস্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।
উত্তরঃ
মনে করি, মহিম একা x ঘন্টায় কাজটি সম্পূর্ণ করে, মজিদ কাজটি সম্পূর্ণ করে (x + 3) ঘন্টায়
∴ মহিম 1 ঘন্টায় করে কাজের ⅟x অংশ
এবং মজিত 1 ঘন্টায় করে কাজের
 
∴ মহিম ও মজিত একত্রে 1 ঘন্টায় করে কাজের 

∴ উভয়ে 1 ঘন্টায় করে কাজের ½ অংশ
প্রশ্নানুসারে,
      
                        ইহাই নির্ণেয় একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।
উত্তরঃ
     মনে করি, মহিম একা x ঘন্টায় কাজটি সম্পূর্ণ করে, মজিদ কাজটি সম্পূর্ণ করে (x + 3) ঘন্টায়
∴ মহিম 1 ঘন্টায় করে কাজের ⅟x অংশ এবং মজিত 1 ঘন্টায় করে কাজের 

∴ মহিম ও মজিদ একত্রে 1 ঘন্টায় কাজের 


∴ উভয়ে 1 ঘন্টায় কাজের ½ অংশ
প্রশ্নানুসারে,

                             একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ।

6.(vi) দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্ব্য়ের গুনফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।